§10 Región de validez de la aproximación de la capa delgada

Hasta ahora hemos supuesto que tanto el choque producido por el viento estelar como el producido por el flujo de acreción, ocupan la misma posición en el espacio. A continuación analizaremos bajo qué circunstancias esta aproximación es correcta. En lo sucesivo utilizaremos el concepto de longitud de enfriamiento $(l_c)$, que es la distancia recorrida por una partícula de fluido desde que atraviesa el frente de choque hasta alcanzar una temperatura de $\unit{ \power{10}{4} }{ \kelvin }$.

Hartigan et al. (1987) estimaron longitudes de enfriamiento para distintas velocidades de choque ($v_{sn}$), en el intervalo $\unit{ 20 } { \kilo \meter \usk \reciprocal \second } \lesssim v_\text{sn} \lesssim \unit{ 400 } { \kilo \meter \usk \reciprocal \second }$, y número de partículas por unidad de volumen $n$, en el intervalo $\unit{ 100 }{ \centi \meter \rpcubed } \lesssim n \lesssim \unit{ 1000 }{ \centi \meter \rpcubed }$. De sus resultados se infiere que (Canto et al., 1988):

$$\left( \frac{ l_\text{c} }{ \unit{}{AU} } \right) = A \left( \fra... ...)^\beta \left( \frac{ n }{ \unit{ }{ \centi \meter \rpcubed } } \right)^{ -1 },$$ (10.1)

donde:

$$A = \begin{cases}6.6 & v_\text{sn} \lesssim \unit{ 70 }{ \kilo \m... ..._\text{sn} \gtrsim \unit{ 70 }{ \kilo \meter \reciprocal \second }. \end{cases}$$ (10.2)

$$\beta = \begin{cases}-5.5 & v_\text{sn} \lesssim \unit{ 70 }{ \ki... ...v_\text{sn} \gtrsim \unit{ 70 }{ \kilo \meter \reciprocal \second } \end{cases}$$ (10.3)

En lo sucesivo supondremos que la ec.(10.1) es válida para cualquier intervalo de densidades, así como de velocidades.

Las ecs.(2.4)-(2.8), la ec.(4.3) y la ec.(7.3), que describen el flujo de acreción, el flujo del viento estelar, la velocidad del choque y el tiempo, pueden ponerse en forma dimensional:

$$r = r_ \widetilde r, \quad \rho = \rho_0 \widetilde \rho, \quad v_ = v_ \widetilde v_ i = r, \theta, varphi ,$$

$$v_ = v_ \widetilde v_ , \quad v_ = v_ \widetilde v_ , \quad \rho_ = \rho_{\text{w}0} \widetilde \rho_\text{w},\quad t = \left( r_\text{d} / v_\text{k} \right) \widetilde t,$$ (10.4)

donde las cantidades con ``tilde'' se refieren a las cantidades adimensionales que hemos considerado anteriormente.

A continuación damos valores de las cantidades hidrodinámicas tanto del flujo de acreción, como del viento estelar para valores típicos de estrellas de baja masa y formación reciente:

$$\left( \frac{ v_\text{k} }{ \unit{}{ \kilo \meter \reciprocal \se... ...{ 1 / 2 } \left( \frac{ r_\text{d} }{ \unit{ 100 }{ AU } } \right)^{ -1 / 2 } ,$$ (10.5)

$$\left( \frac{ n_0 }{ \centi \meter \rpcubed } \right) = 3.6 \time... ...{ 100 }{ AU } } \right)^{ -3 / 2 } \left( \frac{ M }{ M_\odot } \right)^{ -1 },$$ (10.6)

$$\left( \frac{ n_{\text{w}0} }{\unit{ }{ \centi \meter \rpcubed } ... ..._\text{w} }{ \unit{ 300 }{ \kilo \meter \reciprocal \second } } \right)^{ -1 },$$ (10.7)

donde $n_0$ y $n_{\text{w}0}$ se refieren al número de partículas por unidad de volumen del flujo de acreción y del viento solar respectivamente, considerando que la masa promedio por partícula es $\bar m \sim 1.3 m_H$. Como lo muestra la ec.(10.5), los valores típicos de la velocidad $v_k$ son lo suficientemente pequeños como para calcular las longitudes de enfriamiento del flujo de acreción utilizando la ec.(10.1); por lo tanto, de ahora en adelante únicamente analizaremos las longitudes de enfriamiento para el viento estelar.

El cálculo de las longitudes de enfriamiento para el caso del viento estelar lo haremos dejando fijas las cantidades $M$, $\dot M$, $r_d$, $v_w$, con valores típicos como los de las ecs.(10.5)-(10.7) y únicamente variaremos la cantidad $\dot M_w$. La tabla 4.1 muestra cómo varía el cociente máximo de longitudes de enfriamiento entre distancia al choque para distintos ángulos polares en el caso estacionario. Los resultados contenidos en la Tabla 4.1 muestran que para el caso estacionario, la suposición de capa delgada post-choque es correcta para el viento estelar.

Tabla IV.1: Valores de la longitud de enfriamiento en el caso estacionario para el choque producido por el viento estelar para distintos parámetros $\lambda$. El cociente $(l_c/ r)_$max representa el valor máximo del cociente de longitudes de enfriamiento $(l_c)$ y la distancia al choque $(r)$, para distintos ángulos polares.

$\lambda$	$\left( l_\text{c} / r \right)_\text{max} \times 10^3$
0.04	0.54
0.08	1.08
0.12	1.65
0.16	2.25
0.20	2.88
0.24	3.56
0.28	4.27
0.32	5.20
0.36	6.38
0.40	7.96
0.44	10.35
0.48	15.21

Analicemos a continuación las longitudes de enfriamiento del viento estelar para el caso en que el choque evoluciona con el tiempo. Sobre el marco de referencia de la onda de choque, las fórmulas empleadas en la situación estacionaria siguen siendo válidas. Desde el sistema de referencia de la estrella, con ayuda de la ec.(7.1), la ec.(10.1) toma la forma:

$$\left( \frac{ l_\text{c} }{ \unit{ }{ AU } }\right) = A \left( \f... ...ho_\text{w} n_{\text{w}0} }{ \unit{ }{ \centi \meter \rpcubed } } \right)^{-1}.$$ (10.8)

En este caso sucede que el cociente entre la longitud de enfriamiento y la distancia de la estrella al choque, para $\lambda > 1/2$, es grande. Para ver esto, basta con hacer la aproximación asintótica de la ec.(10.8) para $r \gg 1$. De esta forma y utilizando la ec.(8.11) se obtiene:

$$\left( \frac{ l_\text{c} }{ \unit{ }{ AU } } \right) \left( \frac... ...eft( \frac{ r_\text{d} }{ \unit{ }{ AU } } \right)^{-1} \widetilde t^{ 4 / 5 }.$$ (10.9)

La fig.(IV.1) muestra a qué tiempos la suposición de capa delgada deja de ser válida para algunos valores del parámetro $\lambda > 1/2$. En el caso en que el choque evoluciona en el tiempo, para $\lambda \leq 1/2$, sucede que el cociente entre las longitudes de enfriamiento y la distancia del choque es siempre pequeña, hasta que se alcanza la configuración estacionaria, dando lugar a los valores de la Tabla IV.1.

Figura IV.1: Cuando el parámetro $\lambda > 1/2$, la aproximación de capa delgada deja de ser válida para tiempos suficientemente grandes. Las gráficas muestran la variación de la longitud de enfriamiento $(l_c)$ como función del tiempo, $r$ representa la distancia al choque medida desde la estrella. Las líneas punteadas corresponden a la aproximación asintótica de la ec.(10.9) y las líneas continuas corresponden al cálculo numérico. El tiempo $t$ está medido en años.

Footnotes

...#tex2html_wrap_inline5825#

Cuando la partícula de fluido atraviesa el frente de choque su temperatura aumenta. Inmediatamente después, esta temperatura disminuye rápidamente hasta alcanzar un valor alrededor de $\unit{ \power{10}{4} }{ \kelvin }$ (Hartigan et al., 1987). Más allá de esta distancia, la partícula continúa alejándose del frente de choque, sin embargo su temperatura disminuye muy lentamente.