§8 Evolución temporal del choque

Las formas de los campos de velocidad y densidad para el flujo de acreción tienen simetría esférica para $r \ll 1$, que coincide con la simetría esférica que posee el campo de velocidades y la densidad del viento. En otras palabras, al tiempo inicial $t = 0$ ocurre que el choque es una superficie esférica, cuyo radio coincide con el radio de la estrella:

$$r \left( \theta, t=0 \right) = \frac{ r_0 }{ r_\text{d} } \ll 1.$$ (8.8)

La ec.(7.4) contiene dos parámetros adimensionales. Por simplicidad, de aquí en adelante supondremos que la estrella en cuestión es de formación reciente y de baja masa. Las observaciones muestran (Black et al. 1991) que para estas estrellas $v_$w$\sim \unit{ 300 }{ \kilo \meter }$, $M \sim 1 M\odot$ y $r_$d$\sim \unit{100}{au}$, dando lugar a que el parámetro $\eta$ únicamente esté determinado por el valor de $\lambda$:

$$\eta = 10^{-4} \lambda .$$ (8.9)

La solución de la ec.(7.7) adjunta con la condición inicial de la ec.(8.8) se obtuvo utilizando el método de MaCormack & Paullay (1972, Ap&)233;ndice §3#. Las integrales de esta ecuación muestran (fig.(III.1)) que la situación estacionaria únicamente se alcanza para $\lambda \leq 1/2$ convergiendo a las soluciones encontradas en el capítulo 2. Cuando ocurre la desigualdad opuesta, las configuraciones crecen de manera ilimitada excepto para el plano ecuatorial en donde el choque alcanza el borde del disco y se mantiene fijo a este para tiempos suficientemente grandes ( $\lambda = 0.7$ en la fig.(III.1), por ejemplo). Esto último es de esperarse debido a que la densidad del flujo de acreción crece de manera ilimitada en el borde del disco, por lo que el balance de presiones en la ec.(7.2) sobre el plano ecuatorial solamente puede realizarse para $r \leq 1$. Utilizando las ecs.(2.12)-(2.16), para valores de $r \gg 1$ y la ec.(7.7), se obtiene la relación que debe cumplir la superficie del choque para tiempos suficientemente grandes:

$${ \frac{ \partial r }{ \partial t } }_{ \widetilde{ r \rightarrow \infty } } { \frac{ 2^{ 1 / 4 } \lambda^{ 1 / 2 } }{ r^{ 1 / 4} } },$$ (8.10)

de donde se obtiene de inmediato la integral:

$$r_{ \widetilde{ t \rightarrow \infty } } \left( \frac{ 5 \lambda^{ 1 / 2} }{ 2^{ 7 / 4 } } \right)^{ 4 / 5 } t^{ 4 / 5 }.$$ (8.11)

Figura III.1: Las configuraciones del choque para distintos intervalos de tiempo $t$, en unidades de $r_$d$/ v_$k, y distintos valores de $\lambda$ convergen al caso estacionario de la fig.(II.1) cuando $\lambda \leq 1/2$ a tiempos suficientemente grandes. Cuando $\lambda > 1/2$ no se obtiene una situación estacionaria y las configuraciones crecen ilimitadamente. El radio cilíndrico $R$ y la coordenada $Z$ están medidos en unidades del radio del disco $r_$d$$.

La fig.(III.2) muestra a qué tiempos la aproximación hecha con la ec.(8.11) comienza a ser válida en el eje polar del choque.