§2 Cantidades hidrodinámicas en la acreción

Analicemos la trayectoria que seguiría una partícula de fluido en la acreción descrita en la sección §1. Gracias a que los gradientes en la presión y los cambios en la energía interna a lo largo de las líneas de corriente en un flujo supersónico contribuyen poco en los balances de las ecuaciones de energía y momento hidrodinámicas, las líneas de corriente se aproximan a trayectorias balísticas. Si suponemos además que la masa del disco $M_d$ es mucho más pequeña que la masa de la estrella, entonces la trayectoria de una partícula de gas obedece a un potencial central Newtoniano.

La energía total (mecánica e interna) de una partícula al empezar el descenso hacia la estrella y el disco es distinta de cero pues la componente azimutal de la velocidad y la temperatura son distintas de cero. Sin embargo, la energía total es pequeña comparada con su energía potencial y cinética cuando la partícula está cerca del disco. En otras palabras, la energía interna de una partícula cercana al disco contribuye poco al balance de la energía total. Esto es válido siempre y cuando la energía cinética de rotación sea pequeña (es decir $\epsilon\ll 1$) y cuando los calentamientos por radiación sean insignificantes. Por lo tanto, las líneas de corriente cerca del disco deben ser trayectorias con energía cercana a cero, es decir,

$$E = \frac{ 1 }{ 2} v^2 - \frac{ GM }{ r } \approx 0,$$ (2.3)

donde $E$ es la energía por unidad de masa de una partícula de gas cercana al disco, y $v$ es su velocidad. Así pues, las líneas de corriente cercanas al disco son parábolas. Sin embargo, sólo son de interés las trayectorias aguas arriba del disco, pues cuando las partículas alcancen el plano $\theta = \pi / 2$ ($\theta$ el ángulo polar) donde está el disco, las partículas se integran a éste mismo.

La forma explícita de las líneas de corriente, así como del campo de velocidades y la densidad, es la siguiente (Apéndice §1):

$$\frac{r }{ r_d} = \frac{ \sin^2 \theta_0 }{\left( 1 - \frac{ \cos \theta }{ \cos \theta_0} \right) },$$ (2.4)

$$v_r = - \left( \frac{ GM }{ r} \right) ^{ 1 / 2 } \left( 1 + \frac{ \cos \theta }{ \cos \theta_0} \right)^{1 / 2},$$ (2.5)

$$v_\theta = \left( \frac{ GM }{ r } \right) ^{ 1 / 2 } \frac{ \cos... ...sin \theta } \left( 1 + \frac{ \cos \theta }{ \cos\theta_0 } \right)^{ 1 / 2 },$$ (2.6)

$$v_\varphi = \left( \frac{ GM }{ r } \right)^{ 1 / 2 } \left( 1 - ... ...eta }{ \cos \theta_0 } \right)^{ 1 / 2 } \frac{ \sin \theta_0 }{ \sin \theta },$$ (2.7)

$$\rho = \frac{ \dot{ M } }{ 4 \pi r_d^2 \left( \frac{ GM }{ r_d } ... ...ac{ r }{ r_d } \right)^{ -1 } P_2 \left( \cos \theta_0 \right) \right\}^{ -1 },$$ (2.8)

donde $v_i$ ( $i=r,\theta,\varphi$), y $\rho$ representan el campo de velocidades y la densidad del material de acreción respectivamente; $\varphi$ es el ángulo azimutal, $\theta_0$ es el ángulo polar inicial que tiene una partícula de fluido al iniciar su descenso hacia el disco (fig.(I.1)), $\dot M$ es la tasa de acreción y $P_2 \left( \xi \right)$, el polinomio de Legendre de orden dos, definido por:

$$P_2\left( \xi \right) = \frac{ 1 }{ 2 } \left( 3 \xi ^2 - 1 \right).$$ (2.9)

Si hacemos los cambios adimensionales:

$$\frac{ r }{ r_d} \longrightarrow r ,\qquad \frac{ v_i }{ v_k } ... ... , \theta, \varphi \right) \qquad \frac{\rho }{ \rho_0 } \longrightarrow \rho,$$ (2.10)

Figura I.1: Las partículas de fluido en la acreción, que lejos de la estrella giran como un cuerpo rígido con velocidad constante $\dot{ \varphi }$, tienen una trayectoria parabólica cerca de la estrella. Únicamente son de interés las trayectorias aguas arriba del plano ecuatorial.

en las ecs.(2.4)-(2.8) donde $v_k$ y $\rho_0$ están definidos por :

$$v_k = \left( \frac{ GM }{ r_d } \right) ^ { 1 / 2},\qquad \rho_0 = \frac{ \dot{M} }{ 4 \pi r_d ^2 v_k },$$ (2.11)

se obtienen las cantidades hidrodinámicas sin dimensiones:

$$r = \frac{ \sin^2 \theta_0 }{ \left( 1 - \frac{ \cos \theta }{ \cos \theta_0 } \right) },$$ (2.12)

$$v_r = - \left( \frac{ 1 }{ r } \right) ^{ 1 / 2 } \left( 1 + \frac{ \cos \theta }{ \cos \theta_0 } \right)^{ 1 / 2 },$$ (2.13)

$$v_\theta = \left( \frac{ 1 }{ r} \right)^{ 1 / 2 } \frac{ \cos \t... ...in \theta } \left( 1 + \frac{ \cos \theta }{ \cos\theta_0 } \right) ^{ 1 / 2 },$$ (2.14)

$$v_\varphi = \left( \frac{ 1 }{ r } \right)^{ 1 / 2 } \left( 1 - \... ...heta }{ \cos \theta_0 } \right)^{ 1 / 2} \frac{ \sin \theta_0 }{ \sin \theta },$$ (2.15)

$$\rho = r ^{- 3 / 2} \left( 1 + \frac{ \cos \theta }{ \cos \theta_... ...-1 / 2} \left\{ 1 + 2 r ^{ -1 } P_2 \left( \cos \theta_0 \right) \right\}^{-1}.$$ (2.16)

De ahora en adelante, únicamente trabajaremos con las ecs.(2.12)-(2.16) para referirnos a la acreción. En otras palabras, solamente utilizaremos cantidades adimensionales a menos que se especifique lo contrario.

Una gráfica de las líneas de corriente (ec.(2.12)) proyectadas sobre cualquier plano ( $\varphi =$   const$$) se muestra en la fig.(I.2). El ángulo $\theta_0$ que tiene una partícula de fluido al arrancar desde infinito se puede usar como una etiqueta para las líneas de corriente. Para cada $\theta_0$ existe una sola línea de corriente (pues estas no deben intersectarse entre sí).

Figura I.2: Cada línea de corriente está etiquetada por el ángulo polar $\theta_0$ inicial que tiene una partícula de fluido que gira alrededor de una nube de gas al iniciar su descenso hacia la estrella por fuerzas gravitacionales. R representa el radio cilíndrico y Z al eje polar. Las longitudes están medidas en unidades del radio del disco $r_d$. La línea punteada representa al eje de rotación de la nube de gas.

El hecho de que las líneas de corriente se acerquen paralelamente al eje de rotación de la nube a medida que $\theta_0 \rightarrow 0$ se ve claramente de las ecuaciones que representan el campo de velocidades, pues las componentes de la velocidad en $\theta$ y $\varphi$ son cero justo en el eje de rotación. Esto es claro pues el material que inicialmente se encuentra cercano al eje de rotación posee poca velocidad azimutal.

Las ecuaciones que describen el campo de velocidades y la densidad son funciones que únicamente dependen de las posiciones y no del ángulo polar inicial $\theta_0$. Para ver esto, basta con reescribir la ec.(2.12) como:

$$\cos^3 \theta _0 + \cos\theta _0 (r - 1) -r \cos \theta = 0,$$ (2.17)

cuya solución de interés es (Apéndice §2):

$$\cos \theta_0 = \begin{cases}\left( \cos \theta \right)^{ 1 / 3 }... ...\theta }{ 2 } \right)^2 - \left( \frac{ 1 - r }{ 3 } \right)^3 < 0. \end{cases}$$ (2.18)

Así, las ecs.(2.13)-(2.16) junto con la ec.(2.18) nos proporciona la velocidad y la densidad del flujo de acreción como funciones únicamente de las coordenadas $r$ y $\theta$.

Footnotes

... por

$v_k$ es la velocidad (velocidad kepleriana) que tiene una partícula bajo la influencia de un campo central Newtoniano en una trayectoria circular a la distancia $r_d$.