§1 Modelo de acreción de Ulrich (1976)

Consideremos una estrella (o cualquier otro objeto gravitacional ``condensado'') de masa $M$ que se encuentra inmersa en una nube de gas (este gas puede considerarse infinitamente extenso). Supongamos además que lejos de la estrella la velocidad del sonido $c$ es constante; la presión y la densidad de la nube, también lejos de la estrella, son uniformes y tienen el valor $p_\infty$ y $\rho_\infty$ respectivamente. Supongamos que lejos de la estrella, el gas gira como un cuerpo rígido, con lo cual, el gas posee una distribución de momento angular específico $\Gamma$ (momento angular por unidad de masa) alrededor del eje z que pasa por el centro de la estrella y que lejos del eje de rotación tiene el valor constante $\Gamma_\infty$. Supongamos que la acreción es tan lenta como para que la masa de la estrella $M$ pueda considerarse constante en el proceso de acreción y que el flujo es estacionario.

Supongamos que el gas en acreción obedece una relación politrópica:

$$\frac{ p }{ p_\infty }= \left( \frac{ \rho }{ \rho_\infty } \right)^\kappa,$$ (1.1)

donde $p$ y $\rho$ representan la presión y la densidad del gas respectivamente y son funciones en general de la posición y $\kappa$ es el índice politrópico. La suposición de que el gas en acreción cumple con la ec.(1.1) se debe a que la ecuación de energía que considera al enfriamiento es complicada, así es que adjunta a las ecuaciones de momento y conservación de masa, así como la de energía se pide que el gas lleve a cabo un proceso politrópico. De hecho, si $\kappa = 1$ el proceso es isotérmico y si el índice politrópico es igual al cociente de calores específicos del gas, el proceso es adiabático.

Debido a que la tasa de acreción en el flujo descrito por Bondi (1952) es constante y suponiendo que la masa de la estrella es mucho mayor que la masa del gas contenida en una esfera de radio $r$ ($r$ es la distancia de la estrella a la partícula de fluido en cuestión), la gravedad propia del gas es despreciable con respecto la gravedad del objeto central. En lo sucesivo consideraremos que $\Gamma_\infty$ es lo suficientemente pequeño como para que el flujo de acreción pueda considerarse como una perturbación del modelo no rotacional descrito por Bondi.

El problema en cuestión está caracterizado por los siguientes parámetros: la constante gravitacional $G$, el radio de la estrella $r_0$, las constantes $\Gamma_\infty$, $M$, $\rho_\infty$, $p_\infty$, $c$ y el índice politrópico $\kappa$. Con estas magnitudes pueden construirse tres parámetros adimensionales (sin contar $\kappa$) que son:

$$\delta= \frac{ r_0 c^2 }{ GM }, \qquad \epsilon = \left( \frac{\Gamma_\infty c}{GM} \right)^2,$$ (1.2)

y $p_\infty / \rho_\infty c^2 \sim 1$. La longitud $r_c = GM / c^2$ es, excepto por una función que depende de $\kappa$ (la cual resulta ser del orden unidad), la distancia a la que el material alcanza una velocidad sónica en la acreción sin rotación (Bondi 1952). En otras palabras, pedir que $\delta \ll 1$ asegura que el radio del objeto central es pequeño comparado con esta distancia.

El parámetro $\epsilon$ puede considerarse como el cociente de la fuerza centrífuga entre la fuerza gravitacional evaluada en el punto $r_c$. Así pues, pedir que $\epsilon\ll 1$ implica que los efectos rotacionales son pequeñas perturbaciones del flujo descrito por Bondi.

Dado que el momento angular del material en acreción debe conservarse, eventualmente la fuerza centrífuga ( $\approx \Gamma^2 / r^3$) será comparable a la fuerza gravitacional ( $\approx GM / r^2$). Resulta que la distancia a la que esto ocurre es $r_d=\epsilon r_c$, que es justo la distancia a la cual se espera que el flujo se desvíe apreciablemente de la acreción esférica y que un disco de radio $r_d$ sobre el plano ecuatorial se forme. De aquí en adelante consideraremos al disco como infinitamente delgado, es decir, supondremos que el radio del mismo es mucho más grande que su espesor.

Las estrellas de baja masa y de formación reciente son tales que $r_0 \sim 2 \mathrm{R}_\odot$, $c \sim 1 km s^{-1}$, $M\sim 1\mathrm{M}_\odot$, con una velocidad azimutal lejos de la estrella del orden de $\dot \varphi \sim 10^{-14} s^{-1}$, y un tiempo de vida $\tau$ entre $10^4a\widetilde nos\lesssim \tau \lesssim 10^5 a\widetilde nos$. De esta manera el momento angular lejos del eje de rotación es $\Gamma_\infty = ( c \tau )^2 \dot{ \varphi } \sim 9.61\times 10^{18} cm^2 s^{-1}$. Con lo anterior se obtiene entonces que, para el caso de estrellas de baja masa y de formación reciente $\delta \sim 1.75 \times 10^{-5} \ll 1$, $\epsilon \sim 0.2 \ll 1$, $r_c \sim 536 AU$ y $r_d \sim 100 AU$.

Al tiempo $\tau = 0$, cuando los efectos gravitacionales de la estrella resultan importantes para la nube de gas, el gas comienza a acretarse. Consideraremos en lo sucesivo que el tiempo $\tau$ es lo suficientemente grande como para que $r_c < c \tau$. De esta forma sucede que en la región $r > c \tau$ la nube no está perturbada por los efectos gravitacionales de la estrella. Cuando $r_c < r < c \tau$ el material se encuentra en acreción con velocidad debajo de la del sonido y los efectos de la rotación son poco importantes. Cuando $r_d <r < r_c$ el flujo de acreción es supersónico y también los efectos de la rotación carecen de importancia. Cuando $r < r_d$ los efectos de la rotación tienen importancia esencial sobre el comportamiento del gas y el material fluye con velocidad supersónica hacia la estrella.

Footnotes

... forme

Cuando el material en acreción alcanza el plano ecuatorial, dada la simetría del problema, cada partícula colisiona con su contraparte simétrica (Canto et al., 1995); esto ocasiona la formación de un choque hidrodinámico fuerte. Este choque termaliza la componente de velocidad ortogonal al plano ecuatorial. Cuando las partículas de fluido se establecen entonces en el plano ecuatorial son acretadas hacia la estrella produciendo otro choque hidrodinámico fuerte que termaliza la componente radial de la velocidad, conservándose de esta manera el momento angular de la partícula de gas.