§14 Solución de una ecuación cúbica

Consideremos la ecuación cúbica

$$x^3 \pm 3 \alpha x + 2 \beta = 0,$$ (14.29)

que es la forma reducida de Cardan para cualquier ecuación algebraica de tercer orden, donde en este caso $\alpha > 0$. Una forma sencilla de encontrar las soluciones de la ec.(2.29) es la siguiente:

1. Signo $+$ en la ec.(2.29) . Utilicemos la conocida relación trigonométrica:

   $$\ensuremath{\mathrm{sh}}3 t = 4 \ensuremath{\mathrm{sh}}^3 t + 3 \ensuremath{\mathrm{sh}}t,$$ (14.30)

   
   

   y hagamos:

   $$\ensuremath{\mathrm{sh}}3 t = q, \qquad \ensuremath{\mathrm{sh}}t =\lambda x.$$ (14.31)

   
   

   Sustituyendo las ec.(2.31) en la ec.(2.30) obtenemos:

   $$x^3 + \frac{ 3 }{ 4 \lambda^2 } x - \frac{ q }{ 4 \lambda^3 } = 0.$$ (14.32)

   
   

   Identificando la ec.(2.32) con la ec.(2.29) obtenemos:

   $$\lambda = \frac{ 1 }{ 2 \alpha^{ 1 / 2 } }, \quad q = - \frac{ \beta }{ \alpha^{ 3 / 2 } },$$ (14.33)

   
   

   y entonces al sustituir la ec.(2.33) en la ec.(2.31) obtenemos la solución

   $$x = 2 \alpha^{ 1 / 2 } \ensuremath{\mathrm{sh}}\left\{ \frac{ 1 }... ...math{\mathrm{ash}}\left( - \frac{ \beta }{ \alpha^{ 3 / 2 } } \right) \right\}.$$ (14.34)

   
   

2. Signo $-$ y $\beta^2 - \alpha^3 > 0$ en la ec.(2.29) . Análogamente al inciso anterior, utilicemos la fórmula $\ensuremath{\mathrm{ch}}3 t = 4 \ensuremath{\mathrm{ch}}^3 t - 3 \ensuremath{\mathrm{ch}}t$ y hagamos $\ensuremath{\mathrm{ch}}3 t = q, \ensuremath{\mathrm{ch}}t= \lambda x$. Entonces de la misma forma que antes se obtiene $q = - \beta / \alpha^{ 3 / 2 } , \lambda = 1 / 2 \alpha^{ 1 / 2 }$, que finalmente lleva a la solución:

   $$x = 2 \alpha^{ 1 / 2 } \ensuremath{\mathrm{ch}}\left\{ \frac{ 1 }... ...math{\mathrm{ach}}\left( - \frac{ \beta }{ \alpha^{ 3 / 2 } } \right) \right\}.$$ (14.35)

   
   

3. Signo $-$ y $\beta^2 - \alpha^3 < 0$ en la ec.(2.29). Para este caso utilicemos $\cos 3 t = 4 \cos^3 t - 3 \cos t$. Haciendo entonces los cambios $\cos 3 t = q, \cos t = \lambda x$, se obtiene $q = - \beta / \alpha^{ 3 / 2 } , \lambda = 1 / 2 \alpha^{ 1 / 2 }$, de donde se obtiene la solución:

   $$x = 2 \alpha^{ 1 / 2 } \cos \left\{ \frac{ 1 }{ 3 } \ensuremath{\mathrm{acos}}\left( - \frac{ \beta }{ \alpha^{ 3 / 2 } } \right) \right\}.$$ (14.36)

   
   

La ec.(2.34), ec.(2.35) y la ec.(2.36) son las soluciones buscadas a la ec.(2.29). Sin embargo una ecuación algebraica de tercer grado posee tres soluciones, las cuales se manifiestan en las soluciones antes encontradas. Para esto, basta con recordar que:

$$\ensuremath{\mathrm{acos}}z = \pm \ensuremath{\mathrm{acos}}_ z + 2 k \pi,$$

$$\ensuremath{\mathrm{ash}}z = (-)^k \ensuremath{\mathrm{ash}}_ z + 2 k \pi i, \qquad k = 0,\; \pm 1,\; \pm 2, \ldots$$

$$\ensuremath{\mathrm{ach}}z = \pm \ensuremath{\mathrm{ach}}_ z + 2 k \pi i,$$ (14.37)

donde el subíndice    p$$ se refiere a la hoja principal de Riemann.

De la ec.(2.34), la ec.(2.35) y la ec.(2.36) junto con la ec.(2.37) vemos que para los casos (1) y (2), se tienen dos raíces complejas y una real. Sin embargo para el caso (3) se tienen tres raíces reales (basta con escoger $k = 0, \pm 1$ por ejemplo).

Para el problema que nos interesa, identifiquemos la ec.(1.18) con la ec.(B.1). Es decir, hagamos:

$$\alpha = \left\vert \frac{ r - 1 }{ 3 } \right\vert, \qquad \beta = - \frac{ r \cos \theta }{ 2 }, \qquad x = \cos \theta_0.$$ (14.38)

Dado que las soluciones que nos interesan deben ser reales, para el caso (1) y (2) basta con escoger $k = 0$. Para la solución en el caso (3), por la simetría del problema, basta con analizar el cuadrante $0 \leq \theta \leq \pi / 2$. Pongamos $\mu= - \beta / \alpha^{ 3 / 2 }$ y analicemos el comportamiento de la función $\zeta = \cos \left\{ \right( 1 / 3 \left) \ensuremath{\mathrm{acos}}\mu +2 k \pi \right\}$ para $k = 0, \pm 1$. Dado que para $\mu \geq 0$ esperamos que $\zeta \geq 0$, la única opción es escoger $k = 0$, pues sucede que $\zeta( \mu \ge 0, k = 0 ) > 0$. En otras palabras, hemos mostrado que la solución de la ec.(2.17) es:

$$x = \begin{cases}2 \alpha^{ 1 / 2 } \ensuremath{\mathrm{sh}}\left... ...t) \right\}, & \text{ signo $ - $ y $ \beta^2 - \alpha^3 < 0 $ } \end{cases},$$ (14.39)

donde $x$, $\alpha$ y $\beta$ están dados por la ec.(2.38).