§3 Isocontornos de densidad

A continuación daremos expresiones de la densidad para dos direcciones de interés. Una de ellas es a lo largo del eje de rotación y la otra en el plano ecuatorial. De la ec.(2.17) es fácil ver que:

$$\cos \theta_0 \bigg\vert _{ \theta = \frac{ \pi }{ 2 } } = \Theta \left( 1 - r \right) \sqrt{ 1 - r },$$ (3.19)

$$\cos{ \theta_0 }_{ \widetilde{ \theta \rightarrow 0 } } 1 - \frac{ \theta^2 }{ 2 } \left( \frac{ r }{ r + 2 } \right),$$ (3.20)

donde $\Theta (\tau)$ es la función escalón de Heaviside que vale $1$ para $\tau > 0$ y $0$ para $\tau < 0$.

Utilizando las ec.(3.19) y la ec.(3.20), junto con la ec.(2.16) se obtienen de inmediato los valores de la densidad para ciertos valores del ángulo polar:

$$\rho \left( \theta = \pi / 2 \right) = \begin{cases}\frac{ 1 }{ 2... ...eft( 2 r - 1 \right)^{ 1 / 2 } \left( r - 1 ) \right) },& r \geq 1, \end{cases}$$ (3.21)

$$\rho \left( \theta = 0 \right) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 r } \left( r + 2 \right) }.$$ (3.22)

A partir de la ec.(3.21) se deduce que la densidad tiene valor infinito en dos puntos. El hecho de que la densidad crezca infinitamente en $r = 0$ para cualquier $\theta$ se debe simplemente a acumulación de material de acreción en la estrella; sin embargo, en el borde del disco resulta que la densidad también tiene un valor ilimitado. Esto último se debe a que el disco se ha supuesto infinitamente delgado por lo que aparecen efectos de borde.

La fig.I.3 muestra la variación de la densidad como función de las posiciones para distintos ángulos polares. Esta gráfica, junto con la de isocontornos de densidad (fig.I.4) permite analizar la distribución de la densidad en el flujo de acreción.

Figura I.3: La densidad $\rho$ varía continuamente desde $\theta=0$ hasta que en $\theta = \pi / 2$ tiene un valor infinito en el borde del disco. R representa el radio cilíndrico. Las distancias están medidas en unidades del radio del disco y la densidad en unidades de $\rho_0$. La relación entre el ángulo polar primado y el no primado es: $\theta = (\pi / 60)\theta'$.

Figura I.4: Las líneas continuas muestran los puntos en donde la densidad toma un mismo valor para el flujo de acreción. La densidad está medida en unidades de la densidad $\rho_0$. Las distancias están medidas en unidades del radio del disco $r_d$.