§7 Formulación del problema

Analizemos ahora la evolución en el tiempo de la interacción del viento estelar con el flujo de acreción. De la misma forma que en el capítulo II, debido a que el flujo de acreción y el flujo del viento estelar son supersónicos y ambos forman un obstáculo uno con respecto al otro, dos choques hidrodinámicos se forman. Suponiendo que ambos choques ocupan la misma posición en el espacio, que por simplicidad llamaremos choque a menos que se especifique lo contrario, analizaremos la forma geométrica que debe tener el choque considerando que las únicas fuerzas que mantienen estable al mismo son de presión. Si consideramos además que el choque es fuerte, desde el marco de referencia del choque la ec.(4.1) sigue siendo válida. Para transformarla al marco de referencia de la estrella basta con hacer los cambios:

$$v_ \longrightarrow \left( v_\text{wn} - v_\text{sn} \right), \qquad v_\text{n} \longrightarrow \left( v_\text{sn} - v_\text{n} \right),$$ (7.1)

donde $v_$wn$, v_$sn$, v_$n$$ son respectivamente la velocidad del viento, de la onda de choque y del flujo de acreción, todas normales a la onda de choque. Así pues, haciendo los cambios de la ec.(7.1) en la ec.(4.1) obtenemos que la condición de balance de presiones es:

$$\rho_ \left( v_\text{wn} - v_\text{sn} \right)^2 = \rho \left( v_\text{sn} - v_\text{n} \right)^2$$ (7.2)

donde la componente normal de las velocidades está en la dirección del vector de la ec.(5.7). De la misma forma que en la sección §4, la ec.(7.2) se puede adimensionalizar. Basta con hacer los cambios de la ec.(2.10) y la ec.(4.3), adicionados con:

$$\frac{ v_\text{sn} }{ v_\text{k} } \longrightarrow v_\text{sn}.$$ (7.3)

De esta manera la ec.(7.2) adimensionalizada es:

$$v_ = \frac{ \left( \lambda \rho_\text{w} \right)^{ 1 / 2 } v_\text{w... ...ho^{ 1 / 2 } }{ \left( \eta \rho_\text{w} \right)^{ 1 / 2 } + \rho^{ 1 / 2 } },$$ (7.4)

donde $\lambda$ está definido por la ec.(4.5) y $\eta$ es otro parámetro adimensional que aparece cuando el choque evoluciona en el tiempo:

$$\eta \equiv {\lambda} { \left( \frac{ v_\text{k} }{ v_\text{w} } \right)^2}.$$ (7.5)

La ec.(7.4) que representa el balance de presiones post-choque entre el flujo de acreción y el flujo del viento estelar, en el caso en el que el choque evoluciona en el tiempo, claramente converge a la ec.(4.4) en el caso estacionario, es decir, cuando $v_$sn$= 0$.

Debido a que solamente es de interés la forma geométrica del choque y no la trayectoria individual de un pequeño segmento de la onda de choque, únicamente analizaremos cómo varía el choque como función del tiempo para un ángulo polar fijo. De esta manera, la relación entre la velocidad radial con la que se mueve el choque $v_$s y la velocidad normal al mismo se obtiene con ayuda de la ec.(5.7):

$$v_ = \frac{ r v_\text{s} }{ \left\{ r^2 + \left( \partial r / \partial \theta \right)^2 \right\}^{ 1 / 2 } }.$$ (7.6)

La forma geométrica del choque que está caracterizada por la ec.(7.4) toma un aspecto sencillo con ayuda de la ec.(7.6):

$$v_ = \frac{ \partial r }{ \partial t } = \frac{ \left( \lambda \rho_... ...left\{ \left( \eta \rho_\text{w} \right)^{ 1 / 2 } + \rho^{ 1 / 2 } \right\} },$$ (7.7)

en donde hemos utilizado las expresiones normales de la velocidad tanto para el viento estelar como para el flujo de acreción que están determinadas por la ec.(5.7).